Deret Aritmatika

Setelah sebelumnya membahas barisan aritmatika, sekarang kita akan belajar deret aritmatika. Bila barisan aritmatika sering disebut dengan arithmetic sequence, maka deret aritmatika ini nama lainnya adalah arithmetic series.

Latihan Soal

Kerjakan latihan soal deret aritmatika di bawah ini. Bila ada soal yang kamu anggap sulit, pelajari rangkuman materi yang ada di bawahnya. Kemudian kerjakan ulang soal-soal ini hingga kamu mendapat nilai yang memuaskan.

  • Pos.
    Nama
    Nilai
    Waktu
  • 1
    hildafibrianti
    50
    1031 s
  • 2
    cristinaponcowati
    50
    1213 s
  • 3
    Farah
    40
    213 s
  • 4
    Andy
    30
    136 s
  • 5
    Masberto87
    30
    768 s
  • 6
    Nanda Afrizal
    25
    235.5 s
  • 7
    Vithapesa
    20
    281 s
  • 8
    yanii02
    20
    1181 s
  • 9
    RIN07m
    15
    624 s

Kamu harus LOGIN untuk mengerjakan tes ini.
Belum punya akun? Daftar di sini.

Bentuk Umum

Deret aritmatika adalah penjumlahan dari suku-suku suatu barisan aritmatika. Bentuk umum deret aritmatika ialah:

U_1 + U_2 + \ldots + U_{n-1} + U_n

a + (a+b) + (a+2b) + \ldots + (a+[n-1] \space b)

Rumus Penting

Secara ringkas, beberapa rumus penting terkait deret aritmatika diantaranya adalah sebagai berikut:

#1 Mencari Jumlah Semua Suku

S_n = \dfrac{n}{2} \Big( a+U_n \Big)

atau bisa juga disebut bahwa:
Jumlah deret aritmatika sama dengan rata-rata suku pertama dan terakhir dikali dengan banyak sukunya.

S_n = \Big( \dfrac{a+U_n}{2} \Big) \sdot n

S_n = \dfrac{n}{2} \Big(2a+[n-1] \space b \Big)

#2 Mencari Beda atau Selisih

b = \dfrac{U_y - U_x}{y-x}

#3 Mencari Suku Ke-n

U_n = S_n - S_{n-1}

#4 Mencari Banyak Suku

n = 1 + \Big(\dfrac{U_y - U_x}{b} \Big)

\bold{Keterangan:}\\ a = U_1 = \text{Suku pertama.}\\ b = \text{Beda atau selisih.}\\ U_n = \text{Suku ke-n.}\\ S_n = \text{Jumlah deret sampai suku ke-n.}

Contoh Soal

Berikut ini kumpulan beragam contoh soal deret aritmatika. Pelajari dan pahami agar kamu menguasai betul materi deret aritmatika ini.

Soal 1:

Seorang pramuniaga akan menyusun 100 kaleng susu menjadi sebuah tumpukan. Baris teratas hanya akan ada 1 kaleng. Sedangkan baris di bawahnya 2 kaleng lebih banyak daripada di atasnya. Bila tinggi kaleng adalah 10 cm, berapa tinggi tumpukan tersebut?

Tumpukan Kaleng Susu (kuebler-sport.com)

Jawaban:

S_n = \dfrac{n}{2} \Big(2a+[n-1] \space b \Big)\\[1em]
100 = \dfrac{n}{2} \Big([2\sdot1]+[n-1] \space 2 \Big)\\[1em]
2\times100 = n \Big(2+[n-1] \space 2 \Big)\\[1em]
200 = n (\cancel2+2n-\cancel2)\\[1em]
200 = 2n^2\\[1em]
100 = n^2\\[1em]
10 = n\\[1em]
 \text{Jadi ada 10 baris dalam tumpukan.}\\[1em]
\text{Bila tinggi 1 kaleng adalah 10 cm, maka tinggi tumpukan tersebut adalah } 10 \times 10 = \boxed{100 \space cm = 1 \space m.}

Soal 2:

Berapakah beda (positif) antara jumlah 20 bilangan bulat positif pertama yang genap dengan 15 bilangan bulat positif pertama yang ganjil?

Jawaban:

Deret pertama: 2+4+6+\ldots

S_{20} = \dfrac{20}{2} \Big(2\times2+[20-1] \space 2 \Big) = 10 \Big(4+[19] \space 2 \Big) = 10 (4+38) = 10(42) = 420

Deret kedua: 1+3+5+\ldots

S_{15} = \dfrac{15}{2} \Big(2\times1+[15-1] \space 2 \Big) = \dfrac{15}{2} \Big(2+[14] \space 2 \Big) = \dfrac{15}{2} (2+28) = \dfrac{15}{\cancel2}(\cancel{30}15) = 225

Jadi selisihnya adalah 420-225=\boxed{195}

Soal 3:

Sembilan bilangan bulat yang berurutan bila dijumlahkan hasilnya adalah 9. Berapa bilangan terkecil bilangan bulat tersebut?

Jawaban:

Bilangan bulat berurutan, maka beda atau b = 1.

U_n = a+(n-1)b\\U_9=a+(9-1)1=a+8\\[2em]
S_9 = \Big( \dfrac{a+U_9}{2} \Big) \sdot 9\\[1em]
\cancel9 1 = \Big( \dfrac{a+a+8}{2} \Big) \sdot \cancel9\\[1em]
2 = 2a+8 \\[1em]
-2a = 6\\[1em]
a = \boxed{-3}\\[1em]
\text{Jadi bilangan terkecil deret aritmatika di atas atau suku pertamanya } a=-3.

Soal 4:

Bu Yati memberikan hadiah boneka setiap anaknya — Dinda — berulang tahun. Banyak boneka yang diberikan sesuai dengan usia anaknya. Jadi ulang tahun pertama dia hadiahkan 1 boneka, ulang tahun Dinda yang kedua dia memberikan 2 boneka, dan seterusnya. Saat Dinda berusia 12 tahun, berapa semua boneka yang dia terima dari ibunya?

Boneka Ulang Tahun (pexels.com)

Jawaban:

Bentuk deretnya: 1+2+3+\ldots+12.

\begin{aligned}
S_{12} &= \Big( \dfrac{1+12}{2} \Big) \sdot 12\\[1em]
&= \dfrac{13}{2} \sdot 12\\[1em]
&= \dfrac{13}{\cancel2} \sdot \cancel{12}\space6\\[1em]
&= \boxed{78} \space\text{boneka.}
\end{aligned}

Soal 5:

Berapa rata-rata bilangan bulat mulai 1 hingga 250?

Jawaban:

Dalam kumpulan rumus penting di atas, kita ketahui bahwa jumlah deret aritmatika merupakan rata-rata suku pertama dan terakhir dikalikan dengan banyak suku.

Maka rata-rata sebuah deret aritmatika adalah rata-rata suku pertama dan terakhir tanpa dikalikan dengan banyak sukunya. Dengan kata lain, rata-rata deret aritmatika (berlaku juga untuk barisan aritmatika) adalah suku pertama ditambah suku terakhir lalu dibagi dua.

Rata-rata deret aritmatika 1+2+3+\ldots+250 adalah \Big(\dfrac{1+250}{2}\Big)=\boxed{125,5}.

Soal 6:

Berapa jumlah semua bilangan bulat dari -30 sampai 50?

Jawaban:

Pertama, kita tahu bahwa jumlah bilangan dari -30 sampai 30 sama dengan 0. Sehingga kita hanya perlu mencari jumlah dari 31 sampai 50.

Banyak suku atau n dari 31 sampai 50 adalah:

n =  1 + \Big(\dfrac{50 - 31}{1} \Big) = 1+19 = 20

Setelah n diketahui, kita lalu dapat menghitung jumlah semua bilangan dari 31 sampai 50, yaitu:

S_n = \Big( \dfrac{31+50}{2} \Big) \sdot 20 = \Big( \dfrac{81}{\cancel2} \Big) \sdot \cancel{20} \space 10 = 81 \times 10 = \boxed{810}

Soal 7:

Shanty menjumlahkan sepuluh bilangan bulat positif pertama. Agar hasil penjumlahannya berupa bilangan kuadrat, dia diminta untuk tidak memasukkan sebuah bilangan dalam penjumlahan. Bilangan mana yang dimaksud?

Jawaban:

Jumlah deret 10 bilangan bulat positif pertama:

S_{10} = \Big( \dfrac{1+10}{2} \Big) \sdot 10 = \Big( \dfrac{11}{\cancel2} \Big) \sdot \cancel{10} \space 5 = 11 \times 5 = 55

Bilangan kuadrat yang mungkin (dibawah 55): 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49.

Bilangan kuadrat 1 sampai 36 tidak dapat diambil karena akan ada lebih dari 1 bilangan yang harus tidak dimasukkan dalam penjumlahan.

Maka bilangan kuadrat yang memungkinkan adalah 49. Sehingga bilangan yang tidak disertakan dalam penjumlahan adalah 55-49=\boxed{6}.

Soal 8:

Berapa jumlah semua bilangan bulat yang lebih besar dari 3 dan kurang dari 12?

Jawaban:

Deret: 4+5+6+\ldots+11. Banyak suku atau n = 1+11-4 = 8.

Jumlah deret:

S_n = \Big( \dfrac{4+11}{2} \Big) \sdot 8 = \Big( \dfrac{15}{\cancel2} \Big) \sdot \cancel{8} \space 4 = 15 \times 4 = \boxed{60}

Soal 9:

Berapakah jumlah semua bilangan bulat antara -12,5 dan 15,5 ?

Jawaban:

Deret: (-12) + (-11) + (-10) + \ldots + 15.
n = 1 + 15 - (-12) = 28.

S_n = \Big( \dfrac{-12+15}{2} \Big) \sdot 28 = \Big( \dfrac{3}{\cancel2} \Big) \sdot \cancel{28} \space 14 = 3 \times 14 = \boxed{42}

Dengan cara lain, jumlah deret -12 + -11 + \ldots + 12 adalah sama dengan nol. Sehingga kita tinggal menjumlahkan 13 + 14 + 15 = \boxed{42}.

Soal 10:

Berapakah jumlah semua bilangan kelipatan 7 yang ada diantara 100 dan 200 ?

Jawaban:

Deret: 105 + 112 + \ldots + 189 + 196.
n = 1+\Big( \dfrac{196-105}{7} \Big) = 14.

S_n = \Big( \dfrac{105+196}{2} \Big) \sdot 14 = \Big( \dfrac{301}{\cancel2} \Big) \sdot \cancel{14} \space 7 = 301 \times 7 = \boxed{2107}

Penutup

Semoga rangkuman materi di atas bisa membantu kamu dalam memahami materi deret aritmatika. Jangan lupa untuk mengerjakan latihan soal yang disediakan. Di dalamnya berisi banyak sekali contoh soal-soal deret aritmatika. Kalau kamu berhasil lulus — yaitu mendapatkan nilai 80 — maka pemahaman kamu bisa dibilang sudah cukup baik.

Jangan lupa untuk membagikan materi ini ke teman-teman kamu. Kalau perlu, ajak mereka berkompetisi nilai. Dengan begitu kalian bisa belajar bersama dan bisa berdiskusi mengenai permasalahan yang mungkin kalian miliki.

Selamat belajar!

0 Shares:
Tinggalkan Balasan
Pelajari Juga:

Barisan Aritmatika

Coba kerjakan latihan contoh soal barisan aritmatika di bawah ini. Kerjakan berulang kali karena di dalamnya berisi banyak…

Barisan Geometri

Barisan geometri cukup penting untuk dipelajari dan dipahami. Merupakan salah satu bab dalam topik barisan dan deret, topik…