Setelah sebelumnya membahas barisan aritmatika, sekarang kita akan belajar contoh soal deret aritmatika. Bila barisan aritmatika sering disebut dengan arithmetic sequence, maka deret aritmatika ini nama lainnya adalah arithmetic series.
Bentuk Umum Deret Aritmatika
Deret aritmatika adalah penjumlahan dari suku-suku suatu barisan aritmatika. Bentuk umum deret aritmatika ialah:
U_1 + U_2 + \ldots + U_{n-1} + U_n
a + (a+b) + (a+2b) + \ldots + (a+[n-1] \space b)
Rumus Penting Deret Aritmatika
Secara ringkas, beberapa rumus penting terkait deret aritmatika diantaranya adalah sebagai berikut:
Mencari Jumlah Semua Suku
S_n = \dfrac{n}{2} \Big( a+U_n \Big)
atau bisa juga disebut bahwa:
Jumlah deret aritmatika sama dengan rata-rata suku pertama dan terakhir dikali dengan banyak sukunya.
S_n = \Big( \dfrac{a+U_n}{2} \Big) \sdot n
S_n = \dfrac{n}{2} \Big(2a+[n-1] \space b \Big)
Mencari Beda atau Selisih
b = \dfrac{U_y - U_x}{y-x}
Mencari Suku Ke-n
U_n = S_n - S_{n-1}
Mencari Banyak Suku
n = 1 + \Big(\dfrac{U_y - U_x}{b} \Big)
\bold{Keterangan:}\\ a = U_1 = \text{Suku pertama.}\\ b = \text{Beda atau selisih.}\\ U_n = \text{Suku ke-n.}\\ S_n = \text{Jumlah deret sampai suku ke-n.}
Contoh Soal Deret Aritmatika
Berikut ini kumpulan beragam contoh soal deret aritmatika. Pelajari dan pahami agar kamu menguasai betul materi deret aritmatika ini.
Contoh Soal 1
Seorang pramuniaga akan menyusun 100 kaleng susu menjadi sebuah tumpukan. Baris teratas hanya akan ada 1 kaleng. Sedangkan baris di bawahnya 2 kaleng lebih banyak daripada di atasnya.
Bila tinggi kaleng adalah 10 cm, berapa tinggi tumpukan tersebut?
Jawaban:
S_n = \dfrac{n}{2} \Big(2a+[n-1] \space b \Big)\\[1em]
100 = \dfrac{n}{2} \Big([2\sdot1]+[n-1] \space 2 \Big)\\[1em]
2\times100 = n \Big(2+[n-1] \space 2 \Big)\\[1em]
200 = n (\cancel2+2n-\cancel2)\\[1em]
200 = 2n^2\\[1em]
100 = n^2\\[1em]
10 = n\\[1em]
\text{Jadi ada 10 baris dalam tumpukan.}\\[1em]
\text{Bila tinggi 1 kaleng adalah 10 cm, maka tinggi tumpukan tersebut adalah}\\[1em]
10 \times 10 = \boxed{100 \space cm = 1 \space m.}Contoh Soal 2
Berapakah beda (positif) antara jumlah 20 bilangan bulat positif pertama yang genap dengan 15 bilangan bulat positif pertama yang ganjil?
Jawaban:
Deret pertama: 2+4+6+\ldots
\begin{aligned}
S_{20} &= \dfrac{20}{2} \Big(2\times2+[20-1] \space 2 \Big)\\[1em]
&= 10 \Big(4+[19] \space 2 \Big)\\[1em]
&= 10 (4+38)\\[1em]
&= 10(42)\\[1em]
&= 420
\end{aligned}Deret kedua: 1+3+5+\ldots
\begin{aligned}
S_{15} &= \dfrac{15}{2} \Big(2\times1+[15-1] \space 2 \Big)\\[1em]
&= \dfrac{15}{2} \Big(2+[14] \space 2 \Big)\\[1em]
&= \dfrac{15}{2} (2+28)\\[1em]
&= \dfrac{15}{\cancel2}(\cancel{30}15)\\[1em]
&= 225
\end{aligned}Jadi selisihnya adalah 420-225=\boxed{195}
Contoh Soal 3
Sembilan bilangan bulat yang berurutan bila dijumlahkan hasilnya adalah 9. Berapa bilangan terkecil bilangan bulat tersebut?
Jawaban:
Bilangan bulat berurutan, maka beda atau b = 1.
U_n = a+(n-1)b\\U_9=a+(9-1)1=a+8\\[2em]
S_9 = \Big( \dfrac{a+U_9}{2} \Big) \sdot 9\\[1em]
\cancel9 1 = \Big( \dfrac{a+a+8}{2} \Big) \sdot \cancel9\\[1em]
2 = 2a+8 \\[1em]
-2a = 6\\[1em]
a = \boxed{-3}\\[1em]
\text{Jadi bilangan terkecil deret aritmatika di atas atau suku pertamanya } a=-3.Contoh Soal 4
Bu Yati memberikan hadiah boneka setiap anaknya — Dinda — berulang tahun. Banyak boneka yang diberikan sesuai dengan usia anaknya.
Jadi ulang tahun pertama dia hadiahkan 1 boneka, ulang tahun Dinda yang kedua dia memberikan 2 boneka, dan seterusnya.
Saat Dinda berusia 12 tahun, berapa semua boneka yang dia terima dari ibunya?
Jawaban:
Bentuk deretnya: 1+2+3+\ldots+12.
\begin{aligned}
S_{12} &= \Big( \dfrac{1+12}{2} \Big) \sdot 12\\[1em]
&= \dfrac{13}{2} \sdot 12\\[1em]
&= \dfrac{13}{\cancel2} \sdot \cancel{12}\space6\\[1em]
&= \boxed{78} \space\text{boneka.}
\end{aligned}Contoh Soal 5
Berapa rata-rata bilangan bulat mulai 1 hingga 250?
Jawaban:
Dalam kumpulan rumus penting di atas, kita ketahui bahwa jumlah deret aritmatika merupakan rata-rata suku pertama dan terakhir dikalikan dengan banyak suku.
Maka rata-rata sebuah deret aritmatika adalah rata-rata suku pertama dan terakhir tanpa dikalikan dengan banyak sukunya. Dengan kata lain, rata-rata deret aritmatika (berlaku juga untuk barisan aritmatika) adalah suku pertama ditambah suku terakhir lalu dibagi dua.
Rata-rata deret aritmatika 1+2+3+\ldots+250 adalah:
\Big(\dfrac{1+250}{2}\Big)=\boxed{125,5}Contoh Soal 6
Berapa jumlah semua bilangan bulat dari -30 sampai 50?
Jawaban:
Pertama, kita tahu bahwa jumlah bilangan dari -30 sampai 30 sama dengan 0. Sehingga kita hanya perlu mencari jumlah dari 31 sampai 50.
Banyak suku atau n dari 31 sampai 50 adalah:
n = 1 + \Big(\dfrac{50 - 31}{1} \Big) = 1+19 = 20Setelah n diketahui, kita lalu dapat menghitung jumlah semua bilangan dari 31 sampai 50, yaitu:
\begin{aligned}
S_n &= \Big( \dfrac{31+50}{2} \Big) \sdot 20\\[1em]
&= \Big( \dfrac{81}{\cancel2} \Big) \sdot \cancel{20} \space 10\\[1em]
&= 81 \times 10\\[1em]
&= \boxed{810}
\end{aligned}Contoh Soal 7
Shanty menjumlahkan sepuluh bilangan bulat positif pertama. Agar hasil penjumlahannya berupa bilangan kuadrat, dia diminta untuk tidak memasukkan sebuah bilangan dalam penjumlahan. Bilangan mana yang dimaksud?
Jawaban:
Jumlah deret 10 bilangan bulat positif pertama:
S_{10} = \Big( \dfrac{1+10}{2} \Big) \sdot 10 = \Big( \dfrac{11}{\cancel2} \Big) \sdot \cancel{10} \space 5 = 11 \times 5 = 55Bilangan kuadrat yang mungkin (dibawah 55): 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49.
Bilangan kuadrat 1 sampai 36 tidak dapat diambil karena akan ada lebih dari 1 bilangan yang harus tidak dimasukkan dalam penjumlahan.
Maka bilangan kuadrat yang memungkinkan adalah 49. Sehingga bilangan yang tidak disertakan dalam penjumlahan adalah 55-49=\boxed{6}.
Contoh Soal 8
Berapa jumlah semua bilangan bulat yang lebih besar dari 3 dan kurang dari 12?
Jawaban:
Deret: 4+5+6+\ldots+11. Banyak suku atau n = 1+11-4 = 8.
Jumlah deret:
S_n = \Big( \dfrac{4+11}{2} \Big) \sdot 8 = \Big( \dfrac{15}{\cancel2} \Big) \sdot \cancel{8} \space 4 = 15 \times 4 = \boxed{60}Contoh Soal 9
Berapakah jumlah semua bilangan bulat antara -12,5 dan 15,5 ?
Jawaban:
Deret: (-12) + (-11) + (-10) + \ldots + 15.
n = 1 + 15 - (-12) = 28.
S_n = \Big( \dfrac{-12+15}{2} \Big) \sdot 28 = \Big( \dfrac{3}{\cancel2} \Big) \sdot \cancel{28} \space 14 = 3 \times 14 = \boxed{42}Dengan cara lain, jumlah deret -12 + -11 + \ldots + 12 adalah sama dengan nol. Sehingga kita tinggal menjumlahkan 13 + 14 + 15 = \boxed{42}.
Contoh Soal 10
Berapakah jumlah semua bilangan kelipatan 7 yang ada diantara 100 dan 200 ?
Jawaban:
Deret: 105 + 112 + \ldots + 189 + 196.
n = 1+\Big( \dfrac{196-105}{7} \Big) = 14.
S_n = \Big( \dfrac{105+196}{2} \Big) \sdot 14 = \Big( \dfrac{301}{\cancel2} \Big) \sdot \cancel{14} \space 7 = 301 \times 7 = \boxed{2107}Contoh Soal 11
Dalam sebuah penelitian, seorang peneliti mencatat berat badan 10 orang dalam kelompok usia yang sama. Berikut adalah data berat badan tersebut:
50 kg, 52 kg, 54 kg, 56 kg, 58 kg, 60 kg, 62 kg, 64 kg, 66 kg, 68 kg.
Jika kita ingin mengetahui rata-rata berat badan dari kelompok tersebut, bagaimana penerapan deret aritmatika dapat membantu kita dalam menghitungnya?
Jawaban:
Dalam menghitung rata-rata berat badan dari kelompok tersebut, penerapan deret aritmatika dapat membantu kita dalam menghitungnya dengan lebih mudah dan cepat. Deret aritmatika adalah sebuah barisan bilangan yang setiap suku berbeda dengan konstan.
Dalam hal ini, konstan adalah selisih antara setiap dua bilangan dalam barisan.
Untuk mencari rata-rata dari data tersebut, kita dapat menggunakan formula:
rata-rata = (jumlah semua data) / (jumlah data)Kita dapat menggunakan barisan aritmatika untuk mencari jumlah semua data dengan lebih mudah. Pertama, kita dapat menentukan suku pertama dan selisih dari barisan tersebut. Suku pertama adalah 50 kg dan selisih antara dua bilangan dalam barisan adalah 2 kg. Dengan demikian, barisan aritmatika dapat dituliskan sebagai:
50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68
Kita dapat menggunakan rumus untuk jumlah dari n suku deret aritmatika, yaitu:
Sn = n/2 (2a + (n-1)d)
Dalam hal ini, n adalah jumlah suku dalam deret aritmatika, a adalah suku pertama, dan d adalah selisih antara setiap dua suku.
Jadi, dengan menggunakan rumus ini, kita dapat menghitung jumlah semua data dalam deret aritmatika ini:
\begin{aligned}
S_{10} &= \dfrac{10}{2} \Big(2\times50+[10-1] \space 2 \Big)\\[1em]
&= \dfrac{10}{2} \Big(100+[9] \space 2 \Big)\\[1em]
&= \dfrac{10}{2} (100+18)\\[1em]
&= \dfrac{10}{\cancel2}(\cancel{118}\space59)\\[1em]
&= 590
\end{aligned}Setelah kita mengetahui jumlah semua data, kita dapat menghitung rata-ratanya dengan mudah:
rata-rata = (jumlah semua data) / (jumlah data)
= 590 kg / 10
= 59 kg
Jadi, rata-rata berat badan dari kelompok tersebut adalah 59 kg.
Dalam hal ini, penerapan deret aritmatika membantu kita untuk menghitung jumlah semua data dengan lebih mudah dan cepat. Sehingga kita dapat menghitung rata-rata dengan lebih mudah juga.
Latihan Soal Deret Aritmatika
Kerjakan latihan soal deret aritmatika di bawah ini. Bila ada soal yang kamu anggap sulit, pelajari rangkuman materi yang ada di atas. Kemudian kerjakan ulang soal-soal ini hingga kamu mendapat nilai yang memuaskan.
- Pos.NamePoints
- There is no data yet
Penutup
Semoga rangkuman materi di atas bisa membantu kamu dalam memahami materi deret aritmatika. Jangan lupa untuk mengerjakan latihan soal yang disediakan. Di dalamnya berisi banyak sekali contoh soal-soal deret aritmatika.
Kalau kamu berhasil lulus — yaitu mendapatkan nilai 80 — maka pemahaman kamu bisa dibilang sudah cukup baik.
Jangan lupa untuk membagikan materi ini ke teman-teman kamu. Kalau perlu, ajak mereka berkompetisi nilai.
Dengan begitu kalian bisa belajar bersama dan bisa berdiskusi mengenai permasalahan yang mungkin kalian miliki.
Selamat belajar!
