Matriks

Pelajari contoh soal matriks dan kerjakan latihan soal di bawah ini. Contoh perkalian matriks, pertambahan dan pengurangan matriks, invers matriks, matriks transpose, serta determinan matriks.

Apa Itu Matriks ?

Matriks adalah kumpulan bilangan-bilangan yang disusun dalam baris dan kolom. Dengan kata lain, matriks adalah suatu array (susunan) dari bilangan atau variabel yang disusun dalam baris dan kolom.

Setiap elemen dalam matriks memiliki posisi yang terdefinisi dengan baik, yaitu baris dan kolom tertentu.

Contoh Penggunaan Matriks Dalam Kehidupan

Penggunaan matriks sangat luas dan tersebar di berbagai bidang, termasuk matematika, ilmu komputer, fisika, ekonomi, dan banyak lagi. Berikut beberapa contoh penggunaan matriks:

Sistem Persamaan Linear

Dalam aljabar linear, matriks digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Sistem persamaan linear dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks dan diselesaikan menggunakan metode-metode seperti eliminasi Gauss atau metode invers.

Transformasi Geometri

Dalam geometri, matriks digunakan untuk merepresentasikan transformasi geometri seperti translasi, rotasi, dan dilatasi. Setiap jenis transformasi memiliki matriks khusus yang digunakan untuk mengubah koordinat suatu objek.

Grafik Komputer

Dalam grafik komputer, matriks digunakan untuk merepresentasikan transformasi objek dalam ruang tiga dimensi, seperti perubahan posisi, rotasi, dan proyeksi. Matriks juga digunakan untuk mewakili koordinat objek dalam ruang dua atau tiga dimensi.

Pemrograman Komputer

Dalam pemrograman komputer, matriks digunakan dalam berbagai aplikasi, seperti pemrosesan gambar, pengolahan sinyal digital, analisis data, dan kecerdasan buatan. Matriks digunakan untuk merepresentasikan data dan menjalankan operasi matematika pada data tersebut.

Ekonomi dan Keuangan

Dalam ekonomi dan keuangan, matriks digunakan untuk menganalisis hubungan antara variabel ekonomi, seperti harga, produksi, dan konsumsi. Matriks juga digunakan dalam model matematika untuk memprediksi tren dan mengambil keputusan investasi.

Ilmu Fisika

Dalam fisika, matriks digunakan dalam berbagai konsep, termasuk teori gelombang, mekanika kuantum, dan dinamika fluida. Matriks digunakan untuk merepresentasikan operator dan transformasi yang terlibat dalam pemodelan sistem fisika.

Ilmu Pengetahuan Sosial

Dalam ilmu pengetahuan sosial, matriks digunakan untuk menganalisis hubungan antara variabel sosial, seperti jaringan sosial, pola interaksi, dan hubungan antara kelompok-kelompok.

Dengan beragam aplikasi di berbagai bidang, matriks menjadi alat yang sangat penting dan serbaguna dalam dunia matematika dan ilmu pengetahuan secara umum.

Bentuk Umum Matriks

Secara umum, matriks dapat direpresentasikan dalam bentuk:

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}

Dimana a_mn​ adalah elemen yang terletak pada baris ke-m dan kolom ke-n dari matriks A, dan m dan n mewakili jumlah baris dan kolom masing-masing.

Dimensi Matriks

Dimensi atau ukuran sebuah matriks ditulis dengan bentuk baris kali kolom.

Contoh matriks 3 × 2 :

A =
\begin{pmatrix}
-8 & -2 \\
13 & 5 \\
19 & 9
\end{pmatrix}

Contoh matriks 3 × 4 :

B =
\begin{pmatrix}
−7 & 1 & −9 & 8 \\
24 & 15 & 12 & −3 \\
​2 & 11 & 0 & −1
\end{pmatrix}

Entri Matriks

Entri dalam matriks juga ditulis dengan format baris koma kolom. Misalnya pada contoh matriks A dan B di atas. Entri a_3,1 adalah 19. Entri b_2,3 adalah 12.

Contoh Soal Matriks Penjumlahan

Penjumlahan matriks adalah menambahkan tiap entri matriks pertama dengan entri matriks kedua (atau ketiga, keempat, dst.) yang letaknya sama.

Syarat pertambahan matriks:
Semua matriks yang ditambahkan atau dikurangkan memiliki jumlah baris dan kolom yang sama. Misalnya semua matriks memiliki ordo 2×2, atau 3×3, dst.

Contoh Soal 1

A =
\begin{pmatrix}
1 & 3 \\
7 & 2\\
​4& 6
\end{pmatrix}; \quad
B =
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
0& 3\\
​9& 4
\end{pmatrix}. \text{ Tentukan A+B dan A-B !}

Jawaban:

A + B =
\begin{pmatrix}
1+1 & 3 +2\\
7+0 & 2+3\\
​4+9 & 6+4
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
2 & 5\\
7 & 5\\
13 & 10
\end{pmatrix}\\[1em]
A - B =
\begin{pmatrix}
1-1 & 3 -2\\
7-0 & 2-3\\
​4-9 & 6-4
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
7 & -1\\
-5 & 2
\end{pmatrix}

Contoh Soal Matriks Transpose

Rumus MATRIKS TRANSPOSE:

A = \begin{pmatrix} a & b & c \\d & e & f \\​g & h & i \end{pmatrix} \implies A^T = \begin{pmatrix} a & d & g \\b& e & h \\​c & f& i \end{pmatrix}\\[1em] \text{(Baris 1 menjadi Kolom 1, Baris 2 menjadi Kolom 2, dan seterusnya.)}

Contoh Soal 2

A = \begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}; \quad B = \begin{pmatrix}5&6\\8&7\end{pmatrix}. \text{ Tentukan }(A+B)^T !

Jawaban:

A+B = \begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}5&6\\8&7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6&8\\12&10\end{pmatrix}\\[1em]
(A+B)^T = \begin{pmatrix}6&12\\8&10\end{pmatrix}

Contoh Soal Matriks Perkalian

Rumus PERKALIAN MATRIKS:

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae + bg & af + bh \\ ce + dg & cf + dh \end{pmatrix}

Perkalian matriks dilakukan dengan mengalikan baris matriks pertama terhadap kolom matriks kedua.

Syarat perkalian matriks:
banyaknya baris matriks pertama harus sama dengan banyaknya kolom matriks kedua.

Contoh Soal 3

Hitunglah \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 5 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} !

Jawaban:

\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 5 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2)(8) + (0)(1) & (2)(-2) + (0)(1) \\ (5)(8) + (-3)(1) & (5)(-2) + (-3)(1) \end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix} 16 & -4 \\ 37 & -13 \end{pmatrix}}

Contoh Soal Matriks Invers

Rumus INVERS MATRIKS:

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

Contoh Soal 4

Carilah invers dari matriks \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 7 \end{pmatrix}.

Jawaban:

\begin{aligned} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 7 \end{pmatrix}^{-1} &= \frac{1}{(2)(7) - (3)(-1)} \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\\[1em] &= \boxed{\begin{pmatrix} 7/17 & -3/17 \\ 1/17 & 2/17 \end{pmatrix}}.\end{aligned}

Contoh Soal 5

Carilah invers dari matriks \begin{pmatrix} 6 & -4 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}.

Jawaban:

Karena determinan matriks ini adalah (6)(2) - (-4)(-3) = 0, maka matriks ini tidak memiliki invers sehingga jawabannya adalah matriks nol \boxed{\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}}.

Contoh Soal 6

Diketahui \mathbf{M} = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}. Cari nilai a dan b yang memenuhi \mathbf{M}^{-1} = a \mathbf{M} + b \mathbf{I}.

Jawaban:

\begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{(1)(2) - (-4)(1)} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{pmatrix}

a \mathbf{M} + b \mathbf{I} = a \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + b & -4a \\ a & 2a + b \end{pmatrix}

\text{Jadi diketahui bahwa: }\\[1em]
a + b = \frac{1}{3}; \quad -4a = \frac{2}{3}; \quad \boxed{a = -\frac{1}{6}}; \quad 2a + b = \frac{1}{6}

\text{Lalu dengan substitusi kita cari nilai b: }\\[1em]
\begin{aligned}
a + b &= \frac{1}{3}\\[1em]
b &= \frac{1}{3} + \frac{1}{6}\\[1em]
&= \frac{3}{6} = \boxed{\frac{1}{2}}
\end{aligned}

(a,b) = \boxed{\left( -\frac{1}{6}, \frac{1}{2} \right)}

Contoh Soal Determinan Matriks 2×2

Rumus DETERMINAN MATRIKS 2×2:

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

Contoh Soal 7

Diketahui \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = 5. Hitung \begin{vmatrix} 2a & 2b \\ 2c & 2d \end{vmatrix}.

Jawaban:

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = 5\\[1em]
ad - bc = 5

\begin{vmatrix} 2a & 2b \\ 2c & 2d \end{vmatrix} = (2a)(2d) - (2b)(2c) = 4(ad - bc) = 4 \times 5 = \boxed{20}

Contoh Soal 8

Berapa determinan dari matriks A = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} ?

Jawaban:

|A| = (2)(-3) - (5)(1) = (-6)-5 = \boxed{-11}

Contoh Soal Determinan Matriks 3×3

Rumus DETERMINAN MATRIKS 3×3:

\begin{vmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix} = a(ei − fh) \space − \space b(di − fg) + c(dh − eg)

Contoh Soal 9

A = \begin{pmatrix} 6&1&1\\4&-2&5\\2&8&7\end{pmatrix}. \quad \text{Berapa determinan matriks A?}

Jawaban:

|A| = 6(-2\times7-5\times8) - 1(4\times7-5\times2) + 1(4\times8-(-2)2)\\[1em]
=6(-14-40) - 1(28-10) + 1(32-(-4))\\[1em]
=6(-54)-1(18)+1(36)\\[1em]
=-324-18+36\\[1em]
=\boxed{-306}

Contoh Soal 10

P = \begin{pmatrix}3&0&-1\\2&-5&4\\-3&1&3\end{pmatrix}. \text{ Berapa determinan matriks P?}

Jawaban:

|P| = 3(-5\times3-4\times1) - 0(2\times3-4\times-3) + (-1)(2\times1-(-5)(-3))\\[1em]
=3(-15-4) - 0 + (-1)(2-15)\\[1em]
=3(-19)-0+(-1)(-13)\\[1em]
=-57+13\\[1em]
=\boxed{-44}

Latihan Soal Matriks