Home Matematika 30+ Contoh Soal Matriks, Determinan, Invers, Matriks Transpose

30+ Contoh Soal Matriks, Determinan, Invers, Matriks Transpose

oleh contohsoalku.com
304 kali dibaca
Contoh Soal Matriks, Determinan, Invers, Matriks Transpose

Pelajari contoh soal matriks dan kerjakan latihan soal di bawah ini. Contoh perkalian matriks, pertambahan dan pengurangan matriks, invers matriks, matriks transpose, dan determinan matriks.

Kamu harus LOGIN untuk mengerjakan tes ini.
Belum punya akun? Daftar di sini.

  • Pos.
    Nama
    Nilai
    Waktu
  • 1
    contohsoalku.com
    50
    70 s

Matriks adalah kumpulan bilangan-bilangan yang disusun dalam baris dan kolom.

Dimensi Matriks

Dimensi atau ukuran sebuah matriks ditulis dengan bentuk baris kali kolom.

Contoh matriks 3 × 2 :

A =
\begin{pmatrix}
-8 & -2 \\
13 & 5 \\
19 & 9
\end{pmatrix}

Contoh matriks 3 × 4 :

B =
\begin{pmatrix}
−7 & 1 & −9 & 8 \\
24 & 15 & 12 & −3 \\
​2 & 11 & 0 & −1
\end{pmatrix}

Entri Matriks

Entri dalam matriks juga ditulis dengan format baris koma kolom. Misalnya pada contoh matriks A dan B di atas. Entri a3,1 adalah 19. Entri b2,3 adalah 12.

Contoh Soal Penjumlahan Matriks

Penjumlahan matriks adalah menambahkan tiap entri matriks pertama dengan entri matriks kedua (atau ketiga, keempat, dst.) yang letaknya sama.

Syarat pertambahan matriks:
semua matriks yang ditambahkan atau dikurangkan memiliki jumlah baris dan kolom yang sama. Misalnya semua matriks memiliki ordo 2×2, atau 3×3, dst.

Soal:

A =
\begin{pmatrix}
1 & 3 \\
7 & 2\\
​4& 6
\end{pmatrix}; \quad
B =
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
0& 3\\
​9& 4
\end{pmatrix}. \text{ Tentukan A+B dan A-B !}

Jawaban:

A + B =
\begin{pmatrix}
1+1 & 3 +2\\
7+0 & 2+3\\
​4+9 & 6+4
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
2 & 5\\
7 & 5\\
13 & 10
\end{pmatrix}\\[1em]
A - B =
\begin{pmatrix}
1-1 & 3 -2\\
7-0 & 2-3\\
​4-9 & 6-4
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
7 & -1\\
-5 & 2
\end{pmatrix}

Contoh Soal Matriks Transpose

Rumus MATRIKS TRANSPOSE:

A = \begin{pmatrix} a & b & c \\d & e & f \\​g & h & i \end{pmatrix} \implies A^T = \begin{pmatrix} a & d & g \\b& e & h \\​c & f& i \end{pmatrix}\\[1em] \text{(Baris 1 menjadi Kolom 1, Baris 2 menjadi Kolom 2, dan seterusnya.)}

Soal:

A = \begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}; \quad B = \begin{pmatrix}5&6\\8&7\end{pmatrix}. \text{ Tentukan }(A+B)^T !

Jawaban:

A+B = \begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}5&6\\8&7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6&8\\12&10\end{pmatrix}\\[1em]
(A+B)^T = \begin{pmatrix}6&12\\8&10\end{pmatrix}

Contoh Soal Perkalian Matriks

Rumus PERKALIAN MATRIKS:

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae + bg & af + bh \\ ce + dg & cf + dh \end{pmatrix}

Perkalian matriks dilakukan dengan mengalikan baris matriks pertama terhadap kolom matriks kedua.

Syarat perkalian matriks:
banyaknya baris matriks pertama harus sama dengan banyaknya kolom matriks kedua.

Soal
Hitunglah \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 5 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} !

Jawaban:

\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 5 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2)(8) + (0)(1) & (2)(-2) + (0)(1) \\ (5)(8) + (-3)(1) & (5)(-2) + (-3)(1) \end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix} 16 & -4 \\ 37 & -13 \end{pmatrix}}

Contoh Soal Invers Matriks

Rumus INVERS MATRIKS:

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

Soal
Carilah invers dari matriks \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 7 \end{pmatrix}.

Jawaban:

\begin{aligned} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 7 \end{pmatrix}^{-1} &= \frac{1}{(2)(7) - (3)(-1)} \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\\[1em] &= \boxed{\begin{pmatrix} 7/17 & -3/17 \\ 1/17 & 2/17 \end{pmatrix}}.\end{aligned}

Soal
Carilah invers dari matriks \begin{pmatrix} 6 & -4 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}.

Jawaban:

Karena determinan matriks ini adalah (6)(2) - (-4)(-3) = 0, maka matriks ini tidak memiliki invers sehingga jawabannya adalah matriks nol \boxed{\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}}.

Soal
Diketahui \mathbf{M} = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}. Cari nilai a dan b yang memenuhi \mathbf{M}^{-1} = a \mathbf{M} + b \mathbf{I}.

Jawaban:

\begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{(1)(2) - (-4)(1)} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{pmatrix}
a \mathbf{M} + b \mathbf{I} = a \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + b & -4a \\ a & 2a + b \end{pmatrix}
\text{Jadi diketahui bahwa: }\\[1em]
a + b = \frac{1}{3}; \quad -4a = \frac{2}{3}; \quad \boxed{a = -\frac{1}{6}}; \quad 2a + b = \frac{1}{6}
\text{Lalu dengan substitusi kita cari nilai b: }\\[1em]
\begin{aligned}
a + b &= \frac{1}{3}\\[1em]
b &= \frac{1}{3} + \frac{1}{6}\\[1em]
&= \frac{3}{6} = \boxed{\frac{1}{2}}
\end{aligned}
(a,b) = \boxed{\left( -\frac{1}{6}, \frac{1}{2} \right)}

Contoh Soal Determinan Matriks 2×2

Rumus DETERMINAN MATRIKS 2×2:

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

Soal

Diketahui \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = 5. Hitung \begin{vmatrix} 2a & 2b \\ 2c & 2d \end{vmatrix}.

Jawaban:

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = 5\\[1em]
ad - bc = 5
\begin{vmatrix} 2a & 2b \\ 2c & 2d \end{vmatrix} = (2a)(2d) - (2b)(2c) = 4(ad - bc) = 4 \times 5 = \boxed{20}

Soal:

Berapa determinan dari matriks A = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} ?

Jawaban:

|A| = (2)(-3) - (5)(1) = (-6)-5 = \boxed{-11}

Contoh Soal Determinan Matriks 3×3

Rumus DETERMINAN MATRIKS 3×3:

\begin{vmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix} = a(ei − fh) \space − \space b(di − fg) + c(dh − eg)

Soal:

A = \begin{pmatrix} 6&1&1\\4&-2&5\\2&8&7\end{pmatrix}. \quad \text{Berapa determinan matriks A?}

Jawaban:

|A| = 6(-2\times7-5\times8) - 1(4\times7-5\times2) + 1(4\times8-(-2)2)\\[1em]
=6(-14-40) - 1(28-10) + 1(32-(-4))\\[1em]
=6(-54)-1(18)+1(36)\\[1em]
=-324-18+36\\[1em]
=\boxed{-306}

Soal:

P = \begin{pmatrix}3&0&-1\\2&-5&4\\-3&1&3\end{pmatrix}. \text{ Berapa determinan matriks P?}

Jawaban:

|P| = 3(-5\times3-4\times1) - 0(2\times3-4\times-3) + (-1)(2\times1-(-5)(-3))\\[1em]
=3(-15-4) - 0 + (-1)(2-15)\\[1em]
=3(-19)-0+(-1)(-13)\\[1em]
=-57+13\\[1em]
=\boxed{-44}

Demikianlah beberapa macam contoh soal matriks. Setelah ini, coba kerjakan lagi latihan soal matriks di atas. Dalam latihan tersebut ada bank soal yang memuat puluhan variasi soal mengenai matriks. Ulangi hingga kamu mendapat skor yang memuaskan!

Selamat belajar!

Kamu Mungkin Suka

Beri Komentar

You cannot copy content of this page