Artikel ini akan membahas beberapa contoh soal barisan aritmatika dan jawaban lengkap. Juga disertai dengan rumus penting untuk mengerjakan contoh soal barisan aritmatika yang sering digunakan. Baca selengkapnya untuk memahami berbagai variasi contoh soal barisan aritmatika.
Bentuk Umum Barisan Aritmatika
Barisan Aritmatika adalah kumpulan bilangan dimana antar bilangan yang berurutan memiliki selisih sama. Bentuk umum barisan aritmatika adalah:
U_1, U_2, \ldots, U_{n-1}, U_n
a, (a+b), (a+2b), \ldots, (a+[n-1] \space b)
Rumus Penting Barisan Aritmatika
Mencari Suku Ke-n
U_n=a+(n-1)b
Suku Sisipan
b' = \cfrac {b}{k+1}
Menentukan Suku Tengah
Catatan Penting:
Suku tengah (Ut) barisan aritmatika hanya bisa dicari bila barisan tersebut memiliki banyak suku ganjil (n= ganjil).
U_t = \cfrac{a+U_n}{2}
t = \cfrac{n+1}{2}
\bold{Keterangan:}\\ a = U_1 = \text{Suku pertama.}\\ b = \text{Beda atau selisih.}\\ U_n = \text{Suku ke-n.}
Contoh Soal Barisan Aritmatika
Contoh Soal 1
Diketahui barisan aritmatika 3, 5, 7, \ldots . Berapakah suku ke-50?
Jawaban:
\begin{aligned}
U_{50} &= 3 + (50-1)2 \\
&= 3 + 49 \times 2 \\
&= 3 + 98 \\
&= \boxed{101}
\end{aligned}U50 → suku ke-50
a → suku pertama
b → beda atau selisih
n → urutan bilangan
Contoh Soal 2
Berapakah suku ketujuh dari barisan aritmatika 21, 16, 11, 6 \ldots . ?
Jawaban:
\begin{aligned}
U_7 &= 21 + (7-1) \times (-5) \\
&= 21 + (6)(-5) \\
&= 21 + (-30) \\
&= \boxed{-9}
\end{aligned}Contoh Soal 3
Diketahui sebuah barisan aritmatika terdiri dari 2, 14, 26, 38, \ldots . Lalu diantara dua bilangan yang berurutan disisipkan 2 buah bilangan baru. Berapakah beda atau selisih dari barisan aritmatika tersebut sekarang?
Jawaban:
\begin{aligned}
&b = 14 - 2 = 12 \\
&k = \text{banyak bilangan baru yang disisipkan} = 2
\end{aligned}\begin{aligned}
b' &= \cfrac{12}{2+1} \\[1em]
&= \boxed{4}
\end{aligned}Jadi beda atau selisih dari barisan aritmatika yang baru setelah disisipi 2 bilangan adalah 4.
Maka barisan tersebut sekarang menjadi:
2, \textcolor{red}{6, 10,} 14, \textcolor{red}{18, 22,} 26, \textcolor{red}{30, 34,} 38, \ldotsContoh Soal 4
Antara bilangan 3 dan 47 disisipkan 10 bilangan sehingga terbentuk barisan aritmatika baru. Tentukan selisih barisan yang baru tersebut!
Jawaban:
\begin{aligned}
b' &= \cfrac{b}{k+1} \\[1em]
&= \cfrac{47-3}{10+1} \\[1em]
&= \cfrac{44}{11} \\[1em]
&= \boxed{4}
\end{aligned}Barisan aritmatika yang baru adalah:
3, \textcolor{red}{7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43,} 47Contoh Soal 5
Diketahui barisan aritmatika 5, 8, \ldots, 98, 101. Tentukan:
– Suku tengah barisan tersebut.
– Suku keberapakah suku tengah tersebut.
Jawaban:
– Suku tengah barisan tersebut adalah 53.
\begin{aligned}
U_t &= \cfrac{a+U_n}{2} \\[1em]
&= \cfrac{5 + 101}{2} \\[1em]
&= \boxed{53}
\end{aligned}– Suku tengah tersebut merupakan suku ke-17.
\begin{aligned}
U_t &= a + (t-1)b \\
53 &= 5 + (t-1)3 \\
53 - 5 &= 3t-3 \\
53 - 5 + 3 &= 3t \\
51 &= 3t \\
t &= \boxed{17}
\end{aligned}Contoh Soal 6
Diketahui banyaknya suku sebuah barisan aritmatika adalah 21. Jika suku pertamanya 6 dan suku tengahnya 46, tentukan suku ke-20 !
Jawaban:
Diketahui:
n = 21 \\ a = 6 \\ U_t = 46
\begin{aligned}
t &= \cfrac{n+1}{2} \\[1em]
&= \cfrac{21+1}{2} \\[1em]
&= 11
\end{aligned}\text{Jadi} \space U_{11} = 46\begin{aligned}
U_{11} &= a + (n-1)b \\
46 &= 6 + (11-1)b \\
46 &= 6 + 10b \\
46 - 6 &= 10b \\
40 &= 10b \\
b &= \boxed{4}
\end{aligned}Sehingga suku ke-20 adalah:
\begin{aligned}
U_{20} &= 6 + (20-1)4 \\
&= 6 + 19 \times 4 \\
&= 6 + 76 \\
&= \boxed{82}
\end{aligned}Contoh Soal 7
Seorang pekerja menerima gaji awal Rp. 3 juta per bulan, dengan kenaikan gaji sebesar Rp. 500 ribu setiap bulannya. Berapa gaji pekerja tersebut setelah bekerja selama 10 bulan?
Jawaban:
Soal di atas meminta kita untuk mencari gaji pekerja setelah bekerja selama 10 bulan, dengan gaji awal Rp. 3 juta per bulan, dan kenaikan gaji sebesar Rp. 500 ribu setiap bulannya. Soal ini dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus barisan aritmatika.
Rumus umum dari barisan aritmatika adalah:
U_n=a+(n-1)b
dimana:
Un = suku ke-n
a = suku pertama
n = banyak suku
b = beda
Dalam kasus ini, a = 3 juta, b = 500 ribu, dan n = 10.
Sehingga, untuk mencari gaji pekerja setelah bekerja selama 10 bulan, kita perlu mencari U10:
\begin{aligned}
U_{10} &= 3.000.000 + (10-1)500.000 \\
&= 3.000.000 + 9 \times 500.000 \\
&= 3.000.000 + 4.500.000 \\
&= \boxed{7.500.000}
\end{aligned}Jadi, gaji pekerja tersebut setelah bekerja selama 10 bulan adalah Rp. 7,5 juta.
Contoh Soal 8
Seorang pedagang membeli 50 buah kue pada harga Rp. 5.000 per buah pada bulan pertama, lalu pada bulan kedua ia membeli 60 buah kue pada harga Rp. 5.500 per buah. Berapa harga rata-rata per buah kue yang telah ia beli?
Jawaban:
Soal nomor 8 meminta kita untuk mencari harga rata-rata per buah kue yang telah dibeli oleh seorang pedagang. Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan konsep barisan aritmatika sebagai berikut:
- Harga kue pada bulan pertama adalah Rp. 5.000 per buah, sehingga suku pertama barisan aritmatika adalah 5.000.
- Harga kue pada bulan kedua adalah Rp. 5.500 per buah, sehingga beda barisan aritmatika adalah 500.
- Jumlah total harga kue yang dibeli pada bulan pertama adalah 50 x 5.000 = 250.000.
- Jumlah total harga kue yang dibeli pada bulan kedua adalah 60 x 5.500 = 330.000.
- Jumlah total harga kue yang dibeli pada dua bulan tersebut adalah 250.000 + 330.000 = 580.000.
- Jumlah total kue yang dibeli pada dua bulan tersebut adalah 50 + 60 = 110.
- Harga rata-rata per buah kue adalah jumlah total harga kue dibagi dengan jumlah total kue, yaitu 580.000 / 110 = 5.272,73 atau sekitar Rp. 5.273.
Jadi, harga rata-rata per buah kue yang telah dibeli oleh seorang pedagang adalah sekitar Rp. 5.273.
Contoh Soal 9
Seorang pelari ingin meningkatkan jarak lari hariannya secara bertahap. Pada hari pertama ia berlari sejauh 2 km, dan ia menambahkan 500 meter jarak yang ditempuh setiap harinya. Berapa jarak yang akan ditempuhnya pada hari ke-10?
Jawaban:
Soal nomor 9 meminta kita untuk mencari jarak yang ditempuh oleh seorang pelari pada hari ke-10. Kita dapat menyelesaikan masalah ini dengan menggunakan rumus barisan aritmatika sebagai berikut:
- Jarak yang ditempuh pada hari pertama adalah 2 km, sehingga suku pertama (a) barisan aritmatika adalah 2.
- Jumlah penambahan jarak yang ditempuh setiap hari adalah 500 meter, sehingga beda (b) barisan aritmatika adalah 0.5.
- Untuk mencari jarak yang ditempuh pada hari ke-10, kita perlu mencari suku ke-10 (Un) dari barisan aritmatika tersebut.
Sehingga, untuk mencari jarak yang ditempuh pada hari ke-10, kita dapat menggunakan rumus barisan aritmatika dengan n = 10:
\begin{aligned}
U_{10} &= 2 + (10-1)(0,5) \\
&= 2 + (9) (0,5) \\
&= 2 + 4,5 \\
&= \boxed{6,5}
\end{aligned}Jadi, jarak yang akan ditempuh oleh pelari tersebut pada hari ke-10 adalah 6,5 km.
Contoh Soal 10
Sebuah mobil melaju dengan kecepatan awal 60 km/jam, dengan penambahan kecepatan sebesar 10 km/jam setiap jamnya. Berapa kecepatan mobil setelah melaju selama 5 jam?
Jawaban:
Kita dapat memandang perubahan kecepatan mobil setiap jamnya sebagai sebuah barisan aritmatika, dengan suku pertama 60 km/jam dan beda 10 km/jam. Maka, kita dapat mencari nilai suku ke-5 dari barisan aritmatika tersebut untuk mendapatkan kecepatan mobil setelah 5 jam.
\begin{aligned}
U_{5} &= 60 + (5-1)(10) \\
&= 60 + (4) (10) \\
&= 60 + 40 \\
&= \boxed{100}
\end{aligned}Jadi, setelah mobil melaju selama 5 jam, kecepatannya adalah 100 km/jam.
Contoh Soal 11
Seorang petani memiliki ladang seluas 1 hektar yang akan ditanami dengan tanaman sayuran. Dia memulai penanaman dengan menanam 200 bibit sayuran pada hari pertama dan menambahkan 50 bibit sayuran setiap harinya. Berapa total bibit sayuran yang ditanam petani setelah 2 minggu?
Jawaban:
Dalam kasus ini, kita dapat menganggap jumlah bibit sayuran yang ditanam setiap harinya sebagai sebuah barisan aritmatika, dengan suku pertama 200 bibit dan beda 50 bibit per hari.
Kita ingin mencari jumlah total bibit sayuran yang ditanam petani selama 2 minggu atau 14 hari, sehingga n = 14. Maka, kita dapat menghitung jumlah bibit sayuran yang ditanam selama 2 minggu sebagai soal barisan aritmatika:
\begin{aligned}
U_{14} &= 200 + (14-1)(50) \\
&= 200 + (13) (50) \\
&= 200 + 650 \\
&= \boxed{850}
\end{aligned}Jadi, total bibit sayuran yang ditanam oleh petani setelah 2 minggu adalah 850 bibit.
Contoh Soal 12
Seorang petani mengamati bahwa pada hari pertama panen, ia berhasil memanen 12 kg jagung. Kemudian pada hari berikutnya, ia berhasil memanen 15 kg jagung. Jika setiap hari ia berhasil memanen jagung sebanyak 3 kg lebih banyak daripada hari sebelumnya, berapa banyak jagung yang berhasil ia panen pada hari ke-10?
Jawaban:
Diketahui, pada hari pertama petani memanen 12 kg jagung dan setiap hari berhasil memanen jagung sebanyak 3 kg lebih banyak daripada hari sebelumnya. Sehingga, barisan aritmatika yang menggambarkan jumlah jagung yang berhasil dipanen oleh petani adalah:
a = 12
b = 3
Untuk mencari jumlah jagung yang berhasil dipanen pada hari ke-10, kita perlu mencari nilai U10:
\begin{aligned}
U_{10} &= 12 + (10-1)(3) \\
&= 12 + (9) (3) \\
&= 12 + 27 \\
&= \boxed{39}
\end{aligned}Sehingga, pada hari ke-10 petani berhasil memanen 39 kg jagung.
Contoh Soal 13
Seorang investor memulai investasinya pada tahun pertama dengan nilai investasi sebesar 10 juta rupiah. Setiap tahun nilai investasinya meningkat sebesar 2 juta rupiah dari tahun sebelumnya. Jika investor tersebut berencana untuk menarik investasinya setelah 5 tahun, berapa nilai investasi yang bisa ia tarik?
Jawaban:
Diketahui, nilai investasi pada tahun pertama sebesar 10 juta rupiah dan setiap tahun nilai investasi meningkat sebesar 2 juta rupiah dari tahun sebelumnya. Sehingga, barisan aritmatika yang menggambarkan nilai investasi pada setiap tahunnya adalah:
a = 10 juta
b = 2 juta
Untuk mencari nilai investasi pada tahun ke-5, kita perlu mencari nilai U5:
\begin{aligned}
U_{5} &= 10 + (5-1)(2) \\
&= 10 + (4) (2) \\
&= 10 + 8 \\
&= \boxed{18}
\end{aligned}Sehingga, nilai investasi pada tahun ke-5 adalah 18 juta rupiah. Jika investor tersebut ingin menarik investasinya setelah 5 tahun, maka nilai investasi yang bisa ia tarik adalah 18 juta rupiah.
Contoh Soal 14
Seorang investor membeli saham di harga Rp 1.000 per lembar pada bulan Januari dan ia berencana untuk menjualnya setiap bulan dengan kenaikan harga Rp 200 per lembar. Berapa harga jual saham tersebut setelah 6 bulan?
Jawaban:
Kita dapat menghitung harga jual saham setiap bulan menggunakan rumus barisan aritmatika:
U_n=a+(n-1)b
dimana:
Un = harga jual saham setelah n bulan
a = harga beli saham
b = kenaikan harga per bulan
n = jumlah bulan
Dalam kasus ini, a = 1000, b = 200, dan n = 6. Sehingga kita dapat menghitung harga jual saham setelah 6 bulan dengan mengganti nilai a, b, dan n ke dalam rumus barisan aritmatika:
\begin{aligned}
U_6 &= 1.000 + (6-1)(200) \\
&= 1.000 + (5) (200) \\
&= 1.000 + 1.000 \\
&= \boxed{2.000}
\end{aligned}Jadi, harga jual saham tersebut setelah 6 bulan adalah Rp 2.000 per lembar.
Contoh Soal 15
Seorang peneliti mengamati pertumbuhan populasi bakteri pada sebuah cawan petri. Pada hari pertama, populasi bakteri berjumlah 100 dan setiap harinya populasi bakteri meningkat sebesar 50. Jika cawan petri tersebut hanya mampu menampung populasi maksimal sebanyak 5.000 bakteri, berapa hari yang dibutuhkan agar populasi bakteri mencapai batas maksimal tersebut?
Jawaban:
Diketahui, pada hari pertama populasi bakteri berjumlah 100 dan setiap harinya populasi bakteri meningkat sebesar 50. Sehingga, barisan aritmatika yang menggambarkan pertumbuhan populasi bakteri adalah:
a = 100 dan b = 50
Untuk mencari hari ke berapa populasi bakteri mencapai batas maksimal, kita perlu mencari nilai n ketika Un = 5.000. Sehingga, persamaan yang perlu diselesaikan adalah:
\begin{aligned}
a + (n-1)b &= 5000 \\
100 + (n-1)50 &= 5000 \\
100 + 50n - 50 &= 5000 \\
50n &= 5000 - 100 + 50 \\
50n &= 4950 \\
n &= \dfrac{4950}{50} \\
n &= 99
\end{aligned}Sehingga, populasi bakteri akan mencapai batas maksimal setelah 99 hari.
Sekarang coba kerjakan latihan contoh soal barisan aritmatika di bawah ini. Kerjakan berulang kali karena di dalamnya berisi banyak sekali variasi contoh soal barisan aritmatika.
Bila masih belum puas dengan nilai yang kamu dapat, pelajari ulang materi tentang barisan aritmatika atau arithmetic sequences.
Latihan Soal Barisan Aritmatika
- Pos.NamePoints
- There is no data yet
Penutup
Demikianlah beberapa contoh soal barisan aritmatika. Semoga bisa membantu kamu untuk lebih paham mengenai materi barisan aritmatika.
Jangan lewatkan latihan soal di atas. Kerjakan sebaik mungkin hingga kalian lulus yaitu mendapatkan nilai 80.
Bila kamu rasa situs ini bermanfaat, bagikan di medsos maupun ke grup chat kelompok belajar kamu. Lebih seru belajar bareng sambil membahas soal apa yang dirasa sulit.
Apabila terdapat salah hitung atau salah ketik, mohon sampaikan melalui kolom komentar. Saya akan dengan senang hati memperbaikinya.
Selamat belajar!
