Barisan Geometri

Contoh soal barisan geometri cukup penting untuk dipelajari dan dipahami. Merupakan salah satu bab dalam topik barisan dan deret, topik yang seringkali masuk dalam tes seleksi. Baik seleksi CPNS, psikotes, tes SBMPTN, seleksi PKN STAN, dan lainnya.

Apa Itu Barisan Geometri ?

Barisan geometri adalah barisan bilangan dimana perbandingan dua suku yang berurutan selalu tetap. Bentuk umum barisan geometri dilambangkan sebagai berikut:

U_1, \space U_2, \space U_3, \space \ldots \space U_{n-1}, \space U_n

a, \space ar, \space ar^2, \space \ldots \space ar^{n-2}, \space ar^{n-1}

Apa Pentingnya Belajar Contoh Soal Barisan Geometri ?

Belajar contoh soal barisan geometri memiliki manfaat yang signifikan dalam mengembangkan pemahaman dan keterampilan matematika seseorang. Berikut adalah beberapa manfaat utamanya:

Memahami Konsep Dasar Matematika

Studi tentang barisan geometri membantu memperdalam pemahaman tentang konsep dasar matematika, termasuk perbedaan antara barisan aritmetika dan geometri, serta properti-properti khusus yang terkait dengan barisan geometri seperti rasio perbandingan.

Meningkatkan Kemampuan Pemecahan Masalah

Memecahkan masalah dalam barisan geometri memerlukan pemikiran kritis dan kreatif. Melalui latihan dengan contoh soal, seseorang dapat mengembangkan kemampuan analitisnya dan belajar menerapkan konsep-konsep matematika yang telah dipelajari untuk menyelesaikan masalah yang lebih kompleks.

Persiapan untuk Ujian dan Tes

Barisan geometri sering muncul dalam ujian dan tes, baik di tingkat sekolah maupun dalam ujian masuk perguruan tinggi. Dengan belajar contoh soal, siswa dapat mempersiapkan diri dengan baik untuk menghadapi pertanyaan-pertanyaan yang serupa dalam tes mereka.

Memperluas Wawasan Matematika

Belajar tentang barisan geometri membuka pintu untuk mempelajari konsep-konsep matematika yang lebih lanjut, seperti deret geometri, limit, dan aplikasi matematika dalam berbagai bidang ilmu lainnya. Ini dapat membantu siswa merasa lebih percaya diri dan termotivasi untuk mengeksplorasi lebih lanjut dalam matematika.

Pengembangan Keterampilan Abstraksi

Memahami pola-pola dalam barisan geometri melibatkan kemampuan untuk mengenali dan menggeneralisasi aturan-aturan yang mendasarinya. Ini membantu dalam pengembangan keterampilan abstraksi, yang penting dalam matematika dan juga dalam kehidupan sehari-hari.

Peningkatan Kemandirian Belajar

Melalui belajar contoh soal, siswa dapat belajar secara mandiri dan mengembangkan kebiasaan belajar yang baik. Mereka dapat mengidentifikasi area-area di mana mereka membutuhkan bantuan tambahan dan mencari sumber daya yang tepat untuk membantu mereka memahami konsep-konsep yang sulit.

Meningkatkan Keterampilan Berpikir Logis

Memecahkan masalah dalam barisan geometri memerlukan pemikiran logis yang terstruktur. Dengan berlatih dengan contoh soal, siswa dapat mengasah keterampilan berpikir logis mereka dan memperoleh kepercayaan diri dalam menerapkan logika matematika untuk menyelesaikan masalah.

Dengan memperhatikan manfaat-manfaat di atas, belajar contoh soal barisan geometri tidak hanya membantu siswa dalam pencapaian akademis mereka, tetapi juga membantu mereka mengembangkan keterampilan matematika yang penting untuk kehidupan sehari-hari dan masa depan mereka.

Contoh Penggunaan Barisan Geometri Dalam Kehidupan Sehari-hari

Meskipun contoh soal barisan geometri mungkin terlihat sebagai konsep matematika yang khusus, namun aplikasinya dapat ditemukan dalam berbagai aspek kehidupan sehari-hari.

Berikut adalah beberapa contoh penggunaan barisan geometri dalam kehidupan sehari-hari:

Keuangan

Konsep barisan geometri dapat diterapkan dalam investasi dan keuangan. Misalnya, jika seseorang menginvestasikan uang mereka dengan tingkat pengembalian yang tetap setiap periode waktu tertentu, mereka akan melihat pertumbuhan investasi mereka mengikuti pola barisan geometri.

Pertumbuhan Populasi

Pertumbuhan populasi di suatu wilayah atau dalam suatu spesies dapat dianggap sebagai contoh soal barisan geometri. Jika suatu populasi tumbuh dengan laju pertumbuhan yang tetap setiap periode waktu tertentu, maka pertumbuhan populasi tersebut dapat dijelaskan menggunakan konsep barisan geometri.

Teknologi

Dalam teknologi, konsep barisan geometri sering diterapkan dalam progresi kecepatan pengolahan data, kapasitas penyimpanan, atau kemajuan dalam kekuatan komputasi. Misalnya, kecepatan pemrosesan komputer yang meningkat secara eksponensial mengikuti pola barisan geometri.

Ilmu Alam

Dalam ilmu alam, pola pertumbuhan dan perkembangan organisme atau populasi sering dapat dijelaskan menggunakan konsep barisan geometri. Juga sering menjadi contoh soal barisan geometri.

Contohnya adalah pertumbuhan populasi bakteri dalam lingkungan yang cocok, yang dapat mengikuti pola pertumbuhan eksponensial.

Teknik

Dalam dunia teknik, barisan geometri sering ditemukan dalam pembangunan struktur. Seperti contoh soal barisan geometri yang digunakan untuk menentukan perbandingan dalam pola-pola yang berulang pada struktur bangunan atau peralatan.

Perdagangan dan Bisnis

Pola penjualan atau pertumbuhan bisnis dapat mengikuti pola pada contoh soal barisan geometri. Misalnya, jika penjualan suatu produk meningkat dengan tingkat pertumbuhan yang tetap setiap periode waktu tertentu, maka peningkatan tersebut dapat dijelaskan dengan konsep barisan geometri.

Ilmu Sosial

Contoh soal barisan geometri dapat diterapkan dalam studi mengenai tren sosial, seperti penyebaran informasi atau adopsi teknologi dalam masyarakat, yang sering mengikuti pola pertumbuhan yang eksponensial.

Dengan demikian, meskipun mungkin tidak terlihat jelas pada pandangan pertama, konsep dan contoh soal barisan geometri memiliki banyak aplikasi yang relevan dalam kehidupan sehari-hari.

Selain itu juga berperan penting dalam memahami dan menjelaskan berbagai fenomena yang kita temui di dunia nyata.

Rumus Penting Barisan Geometri

Mencari Nilai Rasio – r

Rasio barisan geometri adalah perbandingan dari dua bilangan yang berurutan. Cara mengetahuinya cukup sederhana yaitu:

r = \dfrac{U_n}{U_{n-1}}

Mencari Suku – Un

Cara untuk mencari suku ke-n dari suatu barisan geometri yaitu dengan menggunakan rumus:

U_n = a \cdot r^{n-1}

Mencari Suku Tengah – Ut

Barisan geometri yang memiliki banyak suku ganjil dapat dicari suku tengahnya. Rumusnya adalah sebagai berikut:

U_t = \sqrt{a \cdot r^n}

U_t = \sqrt{a \cdot U_n}

\begin{aligned} (U_2)^2 &= U_1 \times U_3 \text{ ; atau} \\[1em] (U_3)^2 &= U_2 \times U_4 \text{ ; dan seterusnya.} \end{aligned}

\bold{Keterangan:}\\ \begin{aligned} a &= U_1 = \text{Suku pertama.}\\ r &= \text{Rasio atau perbandingan.}\\ n &= \text{Banyak suku.}\\ U_n &= \text{Suku ke-n.}\\ U_t &= \text{Suku tengah.} \end{aligned}

Contoh Soal Barisan Geometri

Contoh Soal 1

Diketahui barisan geometri 1, -3, 9, -27, . . . Rasio barisan tersebut adalah . . . .

Jawaban:

r = \frac{-3}{1}= \boxed{-3}

Contoh Soal 2

Suatu barisan geometri dimulai dengan bilangan 16, -24, 36, -54. Berapa rasio barisan ini?

Jawaban:

r = \frac{-24}{16}= \boxed{-3/2}

Contoh Soal 3

Suku ke-5 dan ke-8 suatu barisan geometri berturut-turut adalah 48 dan 384. Rasio barisan itu adalah . . . .

Jawaban:

\begin{aligned}
U_5 &= ar^4 = 48 \implies a=48/r^4 \\[1em]
U_8 &= ar^7 = 384\\[1em] \hline \\
\dfrac{48}{r^4} \cdot r^7 &= 384\\[1em]
48r^3 &= 384\\[1em]
r^3 &= \frac{384}{48} = 8\\[1em]
r &= \sqrt[3]{8} = \boxed{2}
\end{aligned}

Contoh Soal 4

Berapakah suku ke-10 dari barisan geometri \dfrac{1}{8}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{2}, 1, \ldots ?

Jawaban:

\begin{aligned}
r &= \frac{1/4}{1/8}=\frac{1}{4} \times \frac{8}{1}=\frac{8}{4}=2\\[1em]
U_{10} &= \dfrac{1}{8} \times 2^{10-1}\\[1em]
&= \frac {2^9}{8} = \frac {512}{8}\\[1em]
&= \boxed{64}
\end{aligned}

Contoh Soal 5

Diketahui barisan 1, 2, 4, 8, 16, . . . . Suku ke-10 barisan tersebut adalah . . . .

Jawaban:

\begin{aligned}
r &= \frac{16}{8}=\frac{8}{4}=\frac{4}{2}=\frac{2}{1}=2\\[1em]
U_{10} &= 1 \times 2^{10-1}\\[1em]
&= 1 \times 2^9\\[1em]
&= \boxed{512}
\end{aligned}

Contoh Soal 6

Suatu barisan geometri mempunyai suku ke-2 = 6 dan suku ke-5 = -48, maka suku ke-7 adalah . . . .

Jawaban:

\begin{aligned}
U_2 &= ar = 6 \implies a=6/r \\[1em]
U_5 &= ar^4 = -48\\[1em] \hline \\
\dfrac{6}{r} \cdot r^4 &= -48\\[1em]
6r^3 &= -48\\[1em]
r^3 &= \frac{-48}{6} = -8\\[1em]
r &= \sqrt[3]{-8} = -2\\[1em] \hline \\
a &= \dfrac{6}{r}\\[1em]
&= \dfrac{6}{-2}\\[1em]
&= -3\\[1em] \hline \\
U_7 &= -3 \times (-2)^{7-1}\\[1em]
&= -3 \times (-2)^6\\[1em]
&= -3 \times 64\\[1em]
&= \boxed{-192}
\end{aligned}

Contoh Soal 7

Suku pertama dan keempat suatu barisan geometri positif adalah 3 dan 192. Berapakah suku ketiga dari barisan tersebut?

Jawaban:

\begin{aligned}
U_1 &= a = 3\\[1em]
U_4 &= ar^3 = 192\\[1em] \hline \\
3r^3 &= 192\\[1em]
r^3 &= \frac{192}{3} = 64\\[1em]
r &= \sqrt[3]{64} = 4\\[1em] \hline \\
U_3 &= 3 \times 4^{3-1}\\[1em]
&= 3 \times 4^2\\[1em]
&= 3 \times 16\\[1em]
&= \boxed{48}
\end{aligned}

Contoh Soal 8

Suku ke-4 suatu barisan geometri adalah 27 sedangkan suku ke-7 adalah 1. Berapakah suku pertamanya?

Jawaban:

\begin{aligned}
U_4 &= ar^3 = 27\\[1em]
U_7 &= ar^6 = 1\\[1em] \hline \\
\dfrac{ar^6}{ar^3} &= \dfrac{1}{27}\\[1em]
r^3 &= \dfrac{1}{27}\\[1em]
r &= \sqrt[3]{\dfrac{1}{27}} = \dfrac{1}{3}\\[1em] \hline \\
ar^3 &= 27\\[1em]
a &=  \dfrac{27}{r^3}\\[1em]
&= \dfrac{27}{(1/3)^3}\\[1em]
&= \dfrac{27}{1/27}\\[1em]
&= 27 \times \dfrac{27}{1}\\[1em]
&= \boxed{729}
\end{aligned}

Contoh Soal 9

Suku kedua dan suku kelima barisan geometri berturut-turut adalah 9 dan 243. Rumus suku ke-n barisan tersebut adalah . . . .

Jawaban:

\begin{aligned}
U_2 &= ar = 9 \implies a = 9/r\\[1em]
U_5 &= ar^4 = 243\\[1em] \hline \\
\dfrac{9}{r} \cdot r^4 &= 243\\[1em]
9r^3 &= 243\\[1em]
r^3 &= \frac{243}{9} = 27\\[1em]
r &= \sqrt[3]{27} = 3\\[1em] \hline \\
a &= \dfrac{9}{r}\\[1em]
&= \dfrac{9}{3}\\[1em]
&= 3\\[1em] \hline \\
\boxed{U_n = 3 \cdot 3^{n-1}}
\end{aligned}

Contoh Soal 10

Tentukan nilai tengah dari barisan geometri 4, 8, 16, 32, 64, . . ., 256?

Jawaban:

\begin{aligned}
a &= 4\\[1em]
U_n &= 256\\[1em]
U_t &= \sqrt{a \cdot U_n}\\[1em]
&= \sqrt{4 \cdot 256}\\[1em]
&= \sqrt{1024}\\[1em]
&= \boxed{32}
\end{aligned}

Latihan Soal Barisan Geometri

Kamu mungkin sudah mempelajari contoh soal barisan geometri di sekolah. Sekarang coba kamu kerjakan tryout online di bawah ini. Lihat apakah nilaimu sudah cukup baik.

Rangkuman materi, ringkasan rumus penting, dan beberapa variasi contoh soal dan pembahasannya dijelaskan di atas. Pelajari dengan seksama agar kamu memahami bab ini dengan baik.

Penutup

Demikian beberapa contoh soal barisan geometri beserta pembahasannya. Semoga bisa membantu kamu dalam menguasai materi ini.

Bila ada pertanyaan, silakan tulis pada kolom komentar di bawah. Jangan lupa untuk share situs ini ke medsos kamu agar bermanfaat juga buat orang lain.